سخت‌ترین مسائل حل نشده ریاضی از یونان باستان به امروز کدامند؟

«مسائل جایزه هزاره» در واقع 7 مسئله دشوار ریاضیات هستند که سال 2000 «مؤسسه ریاضیات کِلی» آنها را تعیین کرده‌اند. این مؤسسه برای حل یا اثبات هر مسئله یک‌میلیون دلار جایزه در نظر گرفته است. تاکنون یکی از این مسائل حل‌نشدنی، با عنوان «حدس پوانکاره» به جواب رسیده اما تا به‌ امروز 6 مسئله دیگر همچنان حل‌نشده باقی مانده‌اند. در این مطلب از دیجیاتو، قصد داریم مسائل هزاره را مرور کنیم و آنها را با زبانی ساده توضیح دهیم.

تاریخچه مسائل هزاره

اولین بار ۲۴ مه ۲۰۰۰، به‌منظور بزرگداشت ریاضیات در آغاز هزاره جدید، مؤسسه ریاضیات کِلی (CMI) در کمبریج، ماساچوست، 7 مسئله‌ جایزه‌دار را تعیین کرد. این جوایز به‌منظور ثبت برخی از دشوارترین مسائلی که ریاضی‌دانان در آستانه هزاره دوم با آنها درگیر بودند، طراحی شد.

این 7 مسئله انتخاب شدند. درنهایت، هیئت‌مدیره CMI جایزه یک‌میلیون دلاری را برای هرکدام از ۷ مسئله (درمجموع 7 میلیون دلار) تعریف کرد.

تمرکز این هیئت روی سؤالات کلاسیک مهمی است که سال‌ها بدون راه‌حل باقی مانده‌اند. هدف این کار علاوه‌بر جلب توجه عموم به این واقعیت که در ریاضیات هنوز مرزهای ناشناخته و مسائل حل‌نشده مهمی وجود دارد، تأکید بر اهمیت تلاش برای حل عمیق‌ترین و دشوارترین مسائل و تقدیر از دستاوردهایی مهم در تاریخ ریاضیات است.

۷ مسئله‌ با عنوان مسائل جایزه هزاره یا مسائل حل‌نشدنی مطرح شدند، شامل موارد زیر بودند:

• حدس پوانکاره
• فرضیه ریمان
• مسئله P در مقابل NP
• حدس بیرچ و سوینرتون-دایر
• حدس هاج
• معادله ناویر-استوکس
• نظریه یانگ-میلز

جالب این است که از این 7 مسئله لاینحل ریاضی، مسئله «حدس پوانکاره» حل شده است اما 6 مسئله دیگر همچنان حل‌نشده باقی مانده‌اند. در ادامه، هریک از این مسائل را توضیح می‌دهیم.

حدس پوانکاره؛ مسئله حل‌شده

حدس پوانکاره یکی از سؤالات مشهور در ریاضیات است که سال 1904 ریاضی‌دان فرانسوی، «هانری پوانکاره»، مطرح کرد. برای درک حدس پوانکاره ابتدا باید مفهوم «اتصال ساده» را بررسی کنیم. درصورتی که هر حلقه‌ای را که روی فضایی سبه‌بعدی رسم کنیم، بتوانیم بدون پاره‌کردن یا برداشتن از سطح در نقطه‌ای جمع کنیم، آن فضا فضای سه‌بعدی اتصال ساده دارد.

برای مثال، سطح یک دایره (کره دو‌بعدی) اتصال ساده دارد؛ چون هر حلقه‌ای که روی آن بکشیم، می‌توانیم آن را در نقطه‌ای جمع کنیم اما دونات این‌طور نیست؛ زیرا حلقه‌هایی را که دور سوراخ آن کشیده می‌شوند، نمی‌توان بدون پاره‌کردن، در یک نقطه جمع کرد.

پوانکاره می‌پرسد آیا این ویژگی اتصال ساده می‌تواند برای تعریف یکتایی منیفولدهای سه‌بعدی (فضای سه‌بعدی اقلیدسی) استفاده شود؟ به بیان ساده‌تر، آیا هر منیفولد سه‌بعدی که اتصال ساده دارد، کره‌ای سه‌بعدی است؟

حل مسئله حدس پوانکاره

بین سال‌های ۲۰۰۲ و ۲۰۰۳، «گریگوری پرلمان»، ریاضی‌دان روس، ۳ مقاله در اینترنت منتشر کرد که شامل اثباتی مختصر برای حدس پوانکاره بود. اثبات پایه‌ای او را چندین ریاضی‌دان توسعه داده شد و تا ۲۰۰۶ به‌طور عمومی راه‌حلی معتبر شناخته شد.

پرلمان نشان داد هر منیفولد سه‌بعدی با استفاده از مجموعه‌ای از قطعات استاندارد با یکی از 8 هندسه ممکن ساخته می‌شود. (این 8 نوع هندسه شامل ساختارهای خاصی مثل فضاهای کروی، هذلولی، اقلیدسی و هندسه‌های دیگر است که هرکدام خصوصیات ریاضی متفاوتی دارند.) به بیان ساده‌تر، هر فضای سه‌بعدی پیچیده را می‌توان به قطعاتی ساده‌تر و با ساختارهای مشخص تقسیم کرد.

راه‌حل پرلمان یکی از دستاوردهای بزرگ ریاضیاتی قرن بیستم شناخته می‌شود. سال 2006، مدال فیلدز به‌خاطر این دستاورد به او اعطا شد که البته آن را نپذیرفت. همچنین سال ۲۰۱۰، CMI جایزه مسئله هزاره را برای اثبات حدس پوانکاره به پرلمان پیشنهاد داد اما او این جایزه را نیز نپذیرفت.

فرضیه ریمان، در میان مسائل غیرقابل حل ریاضی

فرضیه ریمان را «گئورگ فردریش برنهارد ریمان»، ریاضیدان آلمانی، سال ۱۸۵۹ مطرح کرد. این فرضیه به چگونگی توزیع اعداد اول در مجموعه اعداد طبیعی مرتبط است. اعداد اول اعدادی هستند که فقط بر یک و خودشان بخش‌پذیرند و باوجود نقش مهمشان، نظم خاصی در پراکندگی‌شان وجود ندارد.

ریمان دریافت توزیع اعداد اول می‌تواند به تابعی ریاضی به نام «تابع زتای ریمان» مرتبط باشد. تابع زتای ریمان به‌صورت زیر تعریف می‌شود که در آن s عددی مختلط است. این تابع برای مقادیر مختلفی از s مقدار می‌گیرد و زمانی که این مقدار به صفر برسد، ریشه‌ای برای تابع به‌ دست می‌آید.

فرضیه ریمان بیان می‌کند تمامی ریشه‌های معادله 𝜁(s)=0 روی خط عمودی خاصی به نام «خط بحرانی» قرار می‌گیرند.

این مسئله برای ۱۰ تریلیون ریشه اول بررسی شده و درست بوده است اما اثبات اینکه این فرضیه برای همه ریشه‌های معادله صحیح است، می‌تواند پرده از بسیاری از اسرار پیرامون پراکندگی اعداد اول بردارد.

این حدس در زمان ریمان اثبات نشد و تا امروز هم اثبات یا رد قطعی آن ممکن نشده اما به‌عنوان یکی از مسائل بنیادین در نظریه اعداد باقی مانده است.

مسئله P در مقابل NP

پرسش P در مقابل NP یکی از بزرگ‌ترین مسائل حل‌نشده در علوم رایانه و ریاضیات است که «استیون کوک» و «لئونید لوین»، سال ۱۹۷۱ به‌طور مستقل مطرح کردند. این مسئله می‌پرسد آیا مسائلی که پاسخشان به‌راحتی قابل‌تأیید است، به همان راحتی قابل‌حل هم هستند یا خیر.

تصور کنید مسئله‌ای دارید که اگر کسی راه‌حلی برای آن بیاورد، شما می‌توانید به‌سرعت بررسی کنید که راه‌حل درست است یا خیر اما ممکن است پیداکردن خودِ این راه‌حل به‌شکلی باورنکردنی دشوار باشد. اینجاست که دسته‌بندی‌های P و NP مطرح می‌شوند:

• مسائل P شامل مسائلی هستند که هم حل‌کردن هم بررسی جواب آنها آسان و سریع است (در زمانی معقول با کمک یک الگوریتم قابل‌حل هستند).
• مسائل NP مسائلی هستند که بررسی درستی جوابشان آسان است اما پیداکردن راه‌حل ممکن است دشوار باشد و زمان زیادی بگیرد.

مثالی از مسائل NP مسئله «مسیر همیلتونی» است که در آن باید مسیر بازدید از برخی مکان‌ها را بدون تکرار پیدا کنیم. فرض کنید کسی مسیر را پیدا کرده و به شما داده است؛ می‌توانید به‌سرعت بررسی کنید مسیر درست است یا خیر اما اگر خودتان بخواهید چنین مسیری را از ابتدا پیدا کنید، به‌ احتمال‌ زیاد با دشواری زیادی روبه‌رو خواهید شد؛ زیرا تعداد ترکیب‌های ممکن بسیار زیاد است.

یکی دیگر از مثال‌های پیچیده مسئله اسکان دانشجویان در خوابگاه است. فرض کنید ۴۰۰ دانشجو داریم ولی فقط برای ۱۰۰ نفر جا دارید. همچنین رئیس دانشکده فهرستی از دانشجویان ناسازگار ارائه داده که نباید در انتخاب نهایی شما قرار بگیرند. اگر کسی لیستی به شما بدهد، می‌توانید سریع بررسی کنید شرایط رئیس را رعایت کرده‌اید یا خیر اما پیداکردن این لیست از ابتدا به‌دلیل تعداد انبوه ترکیب‌های ممکن بسیار سخت و زمان‌بر است.

سؤال اصلی این است که آیا این سختی به این معناست که واقعاً هیچ راه ساده‌ای برای حل این مسائل وجود ندارد یا فقط به این دلیل است که ما هنوز راه بهتری پیدا نکرده‌ایم؟ تاکنون هیچ‌کس نتوانسته ثابت کند مسائل NP واقعاً این‌قدر دشوار هستند که هیچ راه مؤثری برای حل آنها وجود نداشته باشد.

اگر روزی ثابت شود P = NP یعنی همه مسائلی که راه‌حلشان به‌راحتی قابل‌بررسی است، در اصل قابل‌حل هم هستند، این یافته تأثیرات بزرگی بر علوم رایانه، رمزنگاری و بسیاری از زمینه‌های دیگر خواهد داشت.

حدس برچ و سوینرتون-دایر

حدس برچ و سوینرتون-دایر را ریاضی‌دانان «برایان برچ» و «پیتر سوینرتون-دایر» در دهه 1960 مطرح شد. این حدس یکی از مهم‌ترین مسائل ریاضی است که رابطه هندسه و رفتار مجموعه‌ای از نقاط خاص، «نقاط گویا»، را روی خم‌های بیضوی بررسی می‌کند.

ریاضی‌دانان همواره به مسئله یافتن تمام جواب‌های عدد صحیح برای معادلات جبری علاقه‌مند بوده‌اند. اقلیدس راه‌حل کاملی برای معادلات ساده ارائه داد اما این کار برای معادلات پیچیده‌تر بسیار دشوار می‌شود. سال ۱۹۷۰، «یو. و. ماتیاسویچ» نشان داد هیچ روش کلی وجود ندارد که بتوان با استفاده از آن تعیین کرد معادلات جبری به‌طورکلی جواب صحیح دارند یا نه.

در موارد خاص می‌توان این مسئله را دقیق‌تر بررسی کرد. یکی از این موارد زمانی است که جواب‌های معادله نقاطی از تنوعی آبلی (نوعی خاص از ساختار جبری) باشند. دراین‌صورت، حدس برچ و سوینرتون-دایر بیان می‌کند تعداد نقاط گویا روی خم بیضوی، به رفتار تابع ریاضی به نام «تابع زتا» در نزدیکی نقطه‌ای خاص، s=1، بستگی دارد.

به‌طور دقیق، این حدس می‌گوید اگر مقدار تابع زتا در s=1 برابر صفر باشد، تعداد نقاط گویا روی یک خم بیضوی بی‌نهایت است. در مقابل، اگر مقدار تابع زتا در این نقطه صفر نباشد، تعداد نقاط گویا محدود خواهد بود.

این حدس یکی از عمیق‌ترین ارتباطات بین هندسه و نظریه اعداد را برقرار می‌کند و اثبات آن می‌تواند به درک بهتری از خواص خم‌های بیضوی و کاربردهای عملی آنها، ازجمله در رمزنگاری، کمک کند.

حدس هاج: یکی دیگر از مسائل لاینحل ریاضی

حدس هاج را سال ۱۹۴۱ ریاضی‌دان اسکاتلندی، «ویلیام ولنتاین هاج»، مطرح کرد. این مسئله به رابطه توپولوژی (شکل و ساختار کلی فضاها) و هندسه جبری می‌پردازد. این حدس می‌گوید در واریته‌های جبری تصویری (فضاهایی که با معادلات چندجمله‌ای تعریف می‌شوند)، می‌توان شکل کلی فضا را با ترکیب قطعات هندسی ساده‌تر به‌ دست آورد.

در قرن بیستم، ریاضی‌دانان به روش‌های پیشرفته‌ای برای بررسی شکل‌های پیچیده دست یافتند. ایده اصلی این روش‌ها این بوده است که ببینیم می‌توانیم شکلی پیچیده را با کنار هم گذاشتن بلوک‌های ساده و هندسی که هرکدام ابعاد مختلفی دارند، شبیه‌سازی کنیم.

این تکنیک آن‌قدر مؤثر بود که به‌تدریج در مسیرهای مختلفی توسعه پیدا کرد و درنهایت ابزارهای قدرتمندی پدید آورد که به ریاضی‌دانان کمک کرد مجموعه گسترده‌ای از شکل‌ها و فضاهای مختلف را به‌صورت سیستماتیک دسته‌بندی کنند.

بااین‌حال، این توسعه و تعمیم‌ها باعث شد اساس هندسی این روش‌ها در بسیاری از موارد مبهم شود. در برخی موارد حتی نیاز بود تا قطعاتی اضافه شوند که معنای هندسی واضحی نداشتند و تنها به‌عنوان بخش‌های اضافی برای تکمیل محاسبات استفاده می‌شدند.

حال حدس هاج می‌گوید که برای واریته‌های خاصی، می‌توان برخی از ویژگی‌های توپولوژیکی فضا را فقط با استفاده از قطعات هندسی قابل‌درک بیان کرد، آن‌ هم بدون نیاز به استفاده از قطعاتی که معنای هندسی مشخصی ندارند. این قطعات هندسی قابل‌درک «سیکل‌های هاج» نام دارند. این حدس در ابعاد پایین‌تر (کمتر از ۴ بُعد) ثابت شده اما در ابعاد بالاتر هنوز ناشناخته باقی مانده و چالشی برای ریاضی‌دانان است.

معادله ناویر-استوکس

معادلات ناویر-استوکس را نیمه اول قرن ۱۹ ریاضی‌دانان و فیزیک‌دانان فرانسوی، «کلود-لویی ناویر» و «جرج استوکس»، به‌عنوان چارچوبی ریاضی برای توصیف حرکت سیالات مطرح شد. به زبان ساده، این معادلات توضیح می‌دهند چگونه نیروهای مختلف مثل فشار و اصطکاک (چسبندگی) بر هر ذره از سیال تأثیر می‌گذارند و میزان ویسکوزیته (گرانروی) سیال را تعیین می‌کنند. در واقع این معادلات بیان دینامیکی از تعادل نیروها در هر نقطه‌ای از سیال است.

زمانی که آب در رودخانه یا هوا در اتمسفر حرکت می‌کند، وقتی با قایق در دریاچه حرکت می‌کنیم و امواجی در پشت قایق ایجاد می‌شوند یا وقتی هواپیما با سرعت بالا در آسمان پرواز می‌کند و جریان‌های آشفته و متلاطم هوا در پشت آن ایجاد می‌شود، همگی مثال‌هایی از رفتار سیالات هستند که نحوه حرکت و جریان ذراتشان با معادلات ناویر-استوکس توصیف می‌شود.

۲ سؤال اساسی درباره این معادلات هنوز بی پاسخ مانده است: آیا راه‌حل‌هایی برای این معادلات وجود دارد و اگر وجود دارد، آیا این راه‌حل‌ها یکتا هستند؟ به‌عبارتدیگر، آیا می‌توانیم با قطعیت بگوییم سیالات همیشه به‌طور مشخص و قابل‌پیش‌بینی جریان می‌یابند؟ این مسئله اهمیت زیادی دارد؛ زیرا اگر بتوانیم به آنها پاسخ بدهیم، می‌توانیم جریان‌های پیچیده سیالات را بهتر درک کرده، حتی پدیده‌هایی مانند تلاطم یا آشفتگی هوا را پیش‌بینی کنیم.

این معادلات بیش از یک قرن پیش نوشته شده‌اند اما هنوز هم چالش‌های زیادی برای درک و حل کامل آنها وجود دارد و ریاضی‌دانان و فیزیک‌دانان در تلاش‌اند اسرار پنهان در معادلات ناویر-استوکس را کشف کرده و بتوانند رفتار سیالات را دقیق‌تر پیش‌بینی کنند.

نظریه یانگ-میلز و «شکاف جرمی»

این نظریه را در دهه 1950 فیزیک‌دانان، «چن نینگ یانگ» و «رابرت میلز»، معرفی کردند تا چارچوبی برای توصیف نیروهای بنیادی از طریق ساختارهای هندسی ارائه دهد. در دنیای ذرات بنیادی، نظریه یانگ-میلز همان نقشی را ایفا می‌کند که قوانین نیوتن برای دنیای ماکروسکوپی دارند! این نظریه کوانتومی در واقع تعمیم نظریه الکترومغناطیس ماکسول است و اکنون پایه و اساس بیشتر نظریه ذرات بنیادی محسوب می‌شود.

یکی از مسائل اصلی در نظریه یانگ-میلز، «شکاف جرمی» (mass gap) است. در این نظریه بیان می‌شود که میدان‌های الکترومغناطیسی که با سرعت نور حرکت می‌کنند، حامل بار هستند و با ذرات کوانتومی به نام «گلوئون» توصیف می‌شوند. طبق این نظریه، اگرچه این امواج با سرعت نور حرکت می‌کنند، ذرات آن جرم مثبت دارند. تصور می‌شود همین ویژگی سبب شده نیروی قوی فقط در فواصل کوتاه، درون هسته‌های اتمی،‌ مؤثر باشد.

شکاف جرمی از طریق آزمایش کشف شده و شبیه‌سازی‌های کامپیوتری آن را تأیید کرده است اما هنوز اثبات ریاضی دقیق و جامعی برای آن وجود ندارد. اثبات شکاف جرمی می‌تواند به درک بهتر ما از نحوه کارکرد نیروهای بنیادی و ساختار جهان زیراتمی کمک کند.

براساس قوانین جایزه هزاره، کسی که بتواند هریک از این 6 مسئله دشوار را حل کند، باید راه‌حل خود را به CMI ارائه دهد. سپس هیئت مشورتی علمی (SAB) اثبات مسئله را تحت چند شرط بررسی می‌کند. اول اینکه اثبات باید کامل باشد؛ دوم اینکه باید در نشریه ریاضی معتبر داوری شود و تا 2 سال بعد، جامعه ریاضی آن را بپذیرد. اگر این شرایط برآورده شود، SAB کمیته مشورتی متشکل از حداقل 2 ریاضی‌دان برجسته و حداقل یک عضو از SAB برای بررسی دقیق اثبات تعیین خواهد کرد.

جمع‌بندی

مسائل جایزه هزاره مجموعه‌ای از 7 مسئله‌ پیچیده و بنیادین ریاضیات است که سال ۲۰۰۰ مؤسسه ریاضی کلی به‌عنوان چالش‌هایی برای قرن بیست‌ویکم معرفی کرد و برای حل هرکدام جایزه‌ای یک‌میلیون دلاری تعیین شده‌ است. حل این مسائل عمق بیشتری به دانش ریاضی پایه‌ای بشر می‌بخشد و می‌تواند مسیرهای جدیدی در علوم مختلف باز کند.

این مسائل شامل حدس ریمان، فرضیه یانگ-میلز، حدس هاج، مسئله P و NP، حدس برچ و سوینرتون-دایر و 2 مسئله پیچیده دیگر هستند که هرکدام با جنبه‌های خاصی از ریاضیات و علوم ارتباط دارند. هرکدام از این مسائل تاکنون یا بدون راه‌حل مانده‌اند یا فقط در موارد خاص حل شده‌اند.

فقط مسئله حدس پوانکاره کامل حل شده و ریاضی‌دان روسی، گریگوری پرلمان، راه‌حل آن را ارائه داده است. مسائل جایزه هزاره نشان‌دهنده مرزهای کنونی علم ریاضی هستند و حل آنها می‌تواند منجر به دستاوردهای علمی قابل‌توجهی شود که نه‌فقط در ریاضیات، بلکه در حوزه‌های مختلف نظیر فیزیک، نظریه اعداد و علوم کامپیوتر تأثیرگذار خواهد بود.

سؤالات متداول